Logical Equivalence

\begin{aligned} p \to q & \equiv \neg p \lor q \\ p \to q & \equiv \neg q \to \neg p \\ p \lor q & \equiv \neg p \to q \\ p \land q & \equiv \neg (p \to \neg q) \\ \neg p \to q & \equiv p \land \neg q \\ (p \to q) \land (p \to r) & \equiv p \to (q \land r) \\ (p \to r) \land (q \to r) & \equiv (p \lor q) \to r \\ (p \to q) \lor (p \to r) & \equiv p \to (q \lor r) \\ (p \to r) \lor (q \to r) & \equiv (p \land q) \to r \end{aligned}

\begin{aligned} p \leftrightarrow q & \equiv (p \to q) \land (q \to p) \\ p \leftrightarrow q & \equiv \neg p \leftrightarrow \neg q \\ p \leftrightarrow q & \equiv (p \land q) \lor (\neg p \land \neg q) \\ \neg (p \leftrightarrow q) & \equiv p \leftrightarrow \neg q \end{aligned}